【题目】已知函数,其中e为自然对数的底数,函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数的值域为R,求实数m的取值范围.
【答案】(1)单调增区间为,单调减区间为.(2) .
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;
(2)函数的导数,通过讨论m的范围得到函数的值域,从而确定m的具体范围即可.
试题解析:(1).
由得,由得.
所以函数的单调增区间为,单调减区间为.
(2).
当时, ,所以在区间上单调递减;
当时, ,所以在区间上单调递增.
1° 当时, 在上单调递减,值域为,
在上单调递减,值域为,
因为的值域为R,所以,即.(*)
由(1)可知当时, ,故(*)不成立.
因为在上单调递减,在上单调递增,且,
所以当时, 恒成立,因此.
2° 当时, 在上单调递减,在上单调递增,
所以函数在上的值域为,即.
在(m,+ )上单调递减,值域为.
因为的值域为R,所以,即.
综合1°,2°可知,实数m的取值范围是.
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【题目】已知数列数列{an}的通项公式an=(-1)n(2n-1)(n∈N*),Sn为其前n项和.
(1)求S1,S2,S3,S4的值;
(2)猜想Sn的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.
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【题目】已知向量=(2sinx,-1),=(sinx,3),若函数f(x)=.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的集合.
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【题目】在直角坐标系中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立直角坐标系,圆C的极坐标方程为,直线的参数方程为(t为参数),直线和圆C交于A,B两点,P是圆C上不同于A,B的任意一点.
(1)求圆心的极坐标;(2)求△PAB面积的最大值.
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【题目】某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30)
A.2018年
B.2019年
C.2020年
D.2021年
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【题目】已知函数,在原点处切线的斜率为,数列满足为常数且,.
(1)求的解析式;
(2)计算,并由此猜想出数列的通项公式;
(3)用数学归纳法证明你的猜想.
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【题目】设an=1++=+…+(n∈N*),是否存在一次函数g(x),使得a1+a2+a3+…+an-1=g(n)(an-1)对n≥2的一切正整数都成立?并试用数学归纳法证明你的结论.
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