【题目】设an=1++=+…+(n∈N*),是否存在一次函数g(x),使得a1+a2+a3+…+an-1=g(n)(an-1)对n≥2的一切正整数都成立?并试用数学归纳法证明你的结论.
【答案】g(n)=n,见解析
【解析】试题分析:假设存在一次函数g(x)=kx+b(k≠0),依题意可得k=1,b=0,故猜想g(x)=x;然后用数学归纳法加以证明。
试题证明:假设存在一次函数g(x)=kx+b(k≠0),使得a1+a2+a3+…+=g(n)(an-1)对n≥2的一切正整数都成立,
则当n=2时,a1=g(2)(a2-1),
又∵a1=1,a2=1+,∴g(2)=2,即2k+b=2;①
当n=3时,a1+a2=g(3)(a3-1),
又∵a1=1,a2=1+,a3=1++,
∴g(3)=3,即3k+b=3,②
由①②可得k=1,b=0,
所以猜想:存在g(n)=n,
使得a1+a2+a3+…+=g(n) (n≥2,n∈N*)成立.
下面用数学归纳法加以证明:
(1)当n=2时,猜想成立;
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时,猜想成立,即存在g(k)=k,使得a1+a2+a3+…+=g(k)(-1)对k≥2的一切正整数都成立,则
当n=k+1时,a1+a2+a3+…+=(a1+a2+a3+…+)+=+=(k+1)-k,
又∵=1+++…++=+,
∴=-,
∴a1+a2+a3+…+=(k+1)(-)-k
=(k+1)(-1),
∴当n=k+1时,猜想也成立.
由(1)(2)可知,对于一切n(n≥2,n∈N*)有g(n)=n,使得a1+a2+a3+…+=g(n)(-1)都成立.
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【题目】若在定义域内存在实数x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数f(x)有“漂移点”.
(1)用零点存在定理证明:函数f(x)=x2+2x在[0,1]上有“漂移点”;
(2)若函数g(x)=lg()在(0,+∞)上有“漂移点”,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=.
(1)若f(2)=a,求a的值;
(2)当a=2时,若对任意互不相等的实数x1,x2∈(m,m+4),都有>0成立,求实数m的取值范围;
(3)判断函数g(x)=f(x)-x-2a(<a<0)在R上的零点的个数,并说明理由.
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【题目】设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数,对于命题:①f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均为增函数,则f(x)、g(x)、h(x)中至少有一个增函数;②若f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是以T为周期的函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数,下列判断正确的是( )
A.①和②均为真命题
B.①和②均为假命题
C.①为真命题,②为假命题
D.①为假命题,②为真命题
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【题目】数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点,若其欧拉线方程为,则顶点C的坐标是()
A. B.
C. D.
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【题目】双曲线x2﹣ =1(b>0)的左、右焦点分别为F1 , F2 , 直线l过F2且与双曲线交于A,B两点.
(1)直线l的倾斜角为 ,△F1AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;
(2)设b= ,若l的斜率存在,且( ) =0,求l的斜率.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知圆M:x2+y2+ay=0(a>0),直线l:x-7y-2=0,且直线l与圆M相交于不同的两点A,B.
(1)若a=4,求弦AB的长;
(2)设直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,若k1+k2=,求圆M的方程.
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