Question

【题目】若在定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）有“漂移点”．

（1）用零点存在定理证明：函数f（x）=x2+2x在[0，1]上有“漂移点”；

（2）若函数g（x）=lg（）在（0，+∞）上有“漂移点”，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2) [3-，2）

【解析】

(1)只需证明 h（x）=f（x+1）-f（x）-f（1）=2（2x-1+x-1）=0在[0，1]上有解即可；（2）利用函数有飘移点x0，即lg=lg（）+lg在（0，+∞）成立，将式子进行化简，转为方程有解问题.

（1）令h（x）=f（x+1）-f（x）-f（1）=2（2x-1+x-1），

又h（0）=-1，h（1）=2，∴h（0）h（1）＜0，

∴h（x）=0在（0，1）上至少有一实根x0，

故函数f（x）=x2+2x在（0，1）上有“飘移点”．

（2）若g（x）=lg（）在（0，+∞）上有飘移点x0，由题意知a＞0，

即有lg=lg（）+lg成立，即

整理得（2-a）-2ax0+2-2a=0，

从而关于x的方程g（x）=（2-a）x2-2ax+2-2a在（0，+∞）上应有实根x0，

当a=2时，方程的根为，不符合题意，

当0＜a＜2时，由于函数g（x）的对称轴，

可知，只需△=4a2-4（2-a）（2-2a）≥0，

∴，即有，

当a＞2时，由于函数g（x）的对称轴，

只需g（0）＞0即2-2a＞0，所以a＜1，无解．

综上，a的取值范围是[3-，2）．