【题目】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点.
(1)求证:PQ∥平面DCC1D1;
(2)求证:AC⊥EF.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】
(1)连接,
,由
,
分别为
、
的中点,知
,由此能够证明
平面
.
(2)作中点
,连接
,
,由
,
分别是
,
的中点,知
,由
面
,知
面
,故
,再由
,得到
平面
,由此能够证明
.
(1)如图所示,连接CD1.
∵P、Q分别为AD1、AC的中点.∴PQ∥CD1.
而CD1平面DCC1D1,PQ//平面DCC1D1,
∴PQ∥平面DCC1D1.
(2)如图,取CD中点H,连接EH,FH.
∵F、H分别是C1D1、CD的中点,在平行四边形CDD1C1中,FH//D1D.
而D1D⊥面ABCD,
∴FH⊥面ABCD,而AC面ABCD,
∴AC⊥FH.
又E、H分别为BC、CD的中点,∴EH∥DB.
而AC⊥BD,∴AC⊥EH.
因为EH、FH是平面FEH内的两条相交直线,所以AC⊥平面EFH,
而EF平面EFH,所以AC⊥EF.
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【题目】若在定义域内存在实数x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数f(x)有“漂移点”.
(1)用零点存在定理证明:函数f(x)=x2+2x在[0,1]上有“漂移点”;
(2)若函数g(x)=lg()在(0,+∞)上有“漂移点”,求实数a的取值范围.
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【题目】双曲线x2﹣ =1(b>0)的左、右焦点分别为F1 , F2 , 直线l过F2且与双曲线交于A,B两点.
(1)直线l的倾斜角为 ,△F1AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;
(2)设b= ,若l的斜率存在,且(
)
=0,求l的斜率.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知圆M:x2+y2+ay=0(a>0),直线l:x-7y-2=0,且直线l与圆M相交于不同的两点A,B.
(1)若a=4,求弦AB的长;
(2)设直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,若k1+k2=,求圆M的方程.
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【题目】设直线l1 , l2分别是函数f(x)= 图象上点P1 , P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1 , l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(0,2)
C.(0,+∞)
D.(1,+∞)
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【题目】在直角坐标系xOy中,已知曲线C1:(α为参数),在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρcos
=-
,曲线C3:ρ=2sin θ.
(1)求曲线C1与C2的交点M的直角坐标;
(2)设点A,B分别为曲线C2,C3上的动点,求|AB|的最小值.
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【题目】已知,如图,在直二面角中,四边形
是边长为
的正方形,
,且
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在线段(不包含端点)上是否存在点
,使得
与平面
所成的角为
;若存在,写出
的值,若不存在,说明理由.
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