Question

【题目】双曲线x2﹣ =1（b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．
（1）直线l的倾斜角为 ，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设b= ，若l的斜率存在，且（ ） =0，求l的斜率．

Answer 1

【答案】
（1）

解：双曲线x2﹣ =1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，a=1，c2=1+b2，

直线l过F2且与双曲线交于A，B两点，

直线l的倾斜角为 ，△F1AB是等边三角形，

可得：A（c，b2），可得： ，

3b4=4a2+b2，

即3b4﹣b2﹣4=0，

b＞0，解得b2= ．

所求双曲线方程为：x2﹣ =1

（2）

解：b= ，双曲线x2﹣ =1，可得F1（﹣2，0），F2（2，0）．

设A（x1，y1），B（x2，y2），直线的斜率为：k= ，

直线l的方程为：y=k（x﹣2），

由题意可得： ，消去y可得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，可得x1+x2=﹣ ，

则y1+y2=k（x1+x2﹣4）= ．

=（x1+2，y1），

=（x2+2，y2），

（ ） =0可得：（x1+x2+4，y1+y2）（x1﹣x2，y1﹣y2）=0，

可得： =k，

，

可得：k2=1，

解得k=±1．

l的斜率为：±1

【解析】（1）利用直线的倾斜角，求出AB，利用三角形是正三角形，求解b，即可得到双曲线方程．
（2）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出A、B坐标，利用向量的数量积为0，即可求值直线的斜率．
本题考查双曲线与直线的位置关系的综合应用，平方差法以及直线与双曲线方程联立求解方法，考查计算能力，转化思想的应用．