Question

【题目】已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0），满足条件f（x+1）-f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．

（Ⅰ）求f（x）的解析式；

（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥mx-3恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）f（x）=x2-x+1；（Ⅱ）（-∞，3].

【解析】

（Ⅰ）根据f（0）=1及f（x+1）-f（x）=2x，代入解析式，根据对应位置系数相等，即可求得a、b、c的值，得到f（x）的解析式。

（Ⅱ）将解析式代入不等式，构造函数g（x）=x2-（m+1）x+4，即求当x∈[0，+∞）时g（x） 4≥0恒成立。讨论g（x）的对称轴x=与0的大小关系，根据对称及单调性即可求得m的取值范围。

（Ⅰ）由f（0）=1得，c=1，

由f（x+1）-f（x）=2x，得a（x+1）2+b（x+1）+1-（ax2+bx+c）=2x

化简得，2ax+a+b=2x，

所以：2a=2，a+b=1，

可得：a=1，b=-1，c=1，

所以f（x）=x2-x+1；

（Ⅱ）由题意得，x2-x+1≥mx-3，x∈[0，+∞）恒成立．

即：g（x）=x2-（m+1）x+4≥0，x∈[0，+∞）恒成立．

其对称轴x=，

当≤0，即m≤-1时，g（x）在（0，+∞）上单调递增，

g（0）=4＞0

∴m≤-1成立

②当＞0时，

满足

计算得：-1＜m≤3

综上所述，实数m的取值范围是（-∞，3]．