Question

12．已知函数f（x）=|x-1|-|2x+3|．
（I）解不等式f（x）＞2；
（II）若关于x的不等式f（x）≤$\frac{3}{2}$a²-a的解集为R，求正数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，解不等式，求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）求出f（x）的最大值，问题转化为$\frac{3}{2}$a²-a≥$\frac{5}{2}$，求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=|x-1|-|2x+3|=$\left\{\begin{array}{l}{x+4，x≤-\frac{3}{2}}\\{-3x-2，-\frac{3}{2}＜x＜1}\\{-x-4，x≥1}\end{array}\right.$，
当x≤-$\frac{3}{2}$时，由x+4＞2，解得：x＞-2，即-2＜x≤-$\frac{3}{2}$；
当-$\frac{3}{2}$＜x＜1时，由-3x-2＞2，解得：x＜2，即-$\frac{3}{2}$＜x＜-$\frac{4}{3}$；
当x≥1时，由-x-4＞2，解得：x＜-6，无解；
所以原不等式的解集为{x|-2＜x＜-$\frac{4}{3}$}；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f（x）在x=-$\frac{3}{2}$处取函数的最大值f（-$\frac{3}{2}$）=$\frac{5}{2}$，
要使关于x的不等式f（x）≤$\frac{3}{2}$a²-a的解集为R，只需$\frac{3}{2}$a²-a≥$\frac{5}{2}$，
即3a²-2a-5≥0，解得a≤-1或a≥$\frac{5}{3}$，
又a为正数，则a≥$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立问题，是一道中档题．