Question

4．已知定义在R上的函数f（x）关于点（2，0）对称，且对任意的实数x都满足f（x）=f（2-x），若f（-5）=-2，则f（2015）=（　　）

• A． -2
• B． 2
• C． 3
• D． -3

Answer 1

分析 定义在R上的函数f（x）关于点（2，0）对称，可得f（2-x）=f（2+x）．又对任意的实数x都满足f（x）=f（2-x），可得f（x+2）=f（x）．于是f（2015）=f（2×1007+1）=f（1）．而f（-5）=f（2-7）=f（2+7）=f（1），即可得出．

解答 解：∵定义在R上的函数f（x）关于点（2，0）对称，
∴f（2-x）=f（2+x）．
又对任意的实数x都满足f（x）=f（2-x），
∴f（x+2）=f（x），因此函数f（x）是周期为2的函数．
∴f（2015）=f（2×1007+1）=f（1）．
又-2=f（-5）=f（2-7）=f（2+7）=f（1），
∴f（1）=-2．
∴f（2015）=-2．
故选：A．

点评 本题考查了抽象函数的周期性对称性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．