Question

19．已知椭圆mx²+5y²=5m（m＞0）的离心率为$e=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，求m的值，并求椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．

Answer 1

分析 将椭圆方程转化成标准方程：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{m}=1$，由当0＜m＜5时，椭圆的焦点在x轴上，及当m＞5时，椭圆的焦点在y轴上，根据椭圆的性质，即可求得m的值，椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．

解答 解：由椭圆方程：mx²+5y²=5m，即$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{m}=1$，
当0＜m＜5时，椭圆的焦点在x轴上，
c=$\sqrt{5-m}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5-m}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，解的：m=3，
∴椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
∴椭圆的长轴长为2$\sqrt{5}$，短轴长为2$\sqrt{3}$，焦点坐标为（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0），
顶点坐标分别为（-$\sqrt{5}$，0）（$\sqrt{5}$，0），（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）；
当m＞5时，椭圆的焦点在y轴上，
c=$\sqrt{m-5}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{m-5}}{\sqrt{m}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，解得：m=$\frac{25}{3}$，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{\frac{25}{3}}=1$，
∴椭圆的长轴长为$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，短轴长为2$\sqrt{5}$，焦点坐标为（0，-$\frac{\sqrt{30}}{3}$），（0，$\frac{\sqrt{30}}{3}$），
顶点坐标分别为（-$\sqrt{5}$，0）（$\sqrt{5}$，0），（0，-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$），（0，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查椭圆的标准方程，椭圆的性质，考查分类讨论思想，属于中档题．