Question

在平面直角坐标系中，函数y=cosx和函数y=tanx的定义域都是（-

π

2

，

π

2

），它们的交点为P，则点P的纵坐标为（　　）

• A．

  -1+ 5 2

• B．

  -1+ 5

  2

• C．

  2

  2

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：设两个图象的交点坐标为P（α，y₀），可得cosα=tanα，再利用同角三角函数的商数关系和平方关系化简整理，得到sin²α+sinα-1=0，解之得sinα=

5 -1

2

，由此即可算出交点P的纵坐标．

解答：解：设y=cosx和y=tanx的交点坐标为P（α，y₀），则
可得y₀=cosα，且y₀=cosα，得cosα=tanα
∵tanα=

sinα

cosα

，∴cosα=

sinα

cosα

，可得cos²α=sinα
结合cos²α=1-sin²α，得1-sin²α=sinα
∴sin²α+sinα-1=0，解之得sinα=

-1± 5

2

∵sinα∈[-1，1]，α∈（-

π

2

，

π

2

）
∴sinα=

-1+ 5

2

（舍去

-1- 5

2

）
因此，y₀=cosα=

cos2α

=

sin α

=

-1+ 5 2

故选：A

点评：本题给出正弦函数和正切函数的图象，求它们图象交点的纵坐标，着重考查了同角三角函数的基本关系和三角函数的图象等知识，属于中档题．