Question

8．点S，A，B，C在半径为$\sqrt{2}$的同一球面上，△ABC是边长为$\sqrt{3}$的正三角形，若点S到平面ABC的距离为$\frac{1}{2}$，则点S与△ABC中心的距离为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 设△ABC的外接圆的圆心为M，协S作SD⊥平面ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，由题意求出MC=MO=1，从而得到ME=SD=$\frac{1}{2}$，进而求出MD=SE=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，由此能求出点S与△ABC中心的距离．

解答 解：如图，∵点S、A、B、C在半径为$\sqrt{2}$的同一球面上，
点S到平面ABC的距离为$\frac{1}{2}$，AB=BC=CA=$\sqrt{3}$，
设△ABC的外接圆的圆心为M，过S作SD⊥平面ABC，交MC于D，
连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，
∴半径r=MC=$\frac{2}{\sqrt{3-\frac{3}{4}}}$=1，∴MO=$\sqrt{O{C}^{2}-M{C}^{2}}$=$\sqrt{2-1}$=1，
∵SD⊥MC，ME⊥MC，∴MESD是矩形，∴ME=SD=$\frac{1}{2}$，
∴MD=SE=$\sqrt{S{O}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{2-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴SM=$\sqrt{S{D}^{2}+M{D}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{7}{4}}$=$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查球上的点到三角形中心的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意球的性质和空间思维能力的培养．