Question

17．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-x+c+1有两个不同零点，且有一个零点恰为f（x）的极小值点，则c的值为（　　）

• A． 0
• B． $-\frac{5}{3}$
• C． $-\frac{1}{3}$
• D． $-\frac{5}{3}$或$-\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 利用导数求出函数的极大值和极小值，要使函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-x+c+1有两个不同零点，则满足极大值等于0或极小值等于0．根据有一个零点恰为f（x）的极小值点，得f（x）的极小值为0，解方程即可求得c值．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x+c+1，∴f′（x）=x²-1，
由f′（x）＞0，得x＞1或x＜-1，∴f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上单调递增，
由f′（x）＜0，得-1＜x＜1，f（x）在（-1，1）上单调递减．
即当x=-1时，函数f（x）取得极大值，当x=1时，函数f（x）取得极小值．
要使函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x+c-1有两个不同零点，则满足极大值等于0或极小值等于0，
∵有一个零点恰为f（x）的极小值点，
∴必有f（1）=$\frac{1}{3}$-1+c+1=c+$\frac{1}{3}$=0，解得c=-$\frac{1}{3}$．
故选：C．

点评 本题主要考查三次函数的图象和性质，利用导数求出函数的极值是解决本题的关键，属于中档题．