Question

14．设一扇形的周长为C（C＞0），当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？

Answer 1

分析 根据扇形的弧长与半径的关系，建立等式，然后根据面积公式转化成关于r的二次函数，通过解二次函数最值即可得到结论．．

解答 解：∵扇形的周长为C，
∴l+2r=C，
即l=C-2r，
∴扇形的面积S=$\frac{1}{2}$lr=$\frac{1}{2}$（C-2r）•r=-r²+$\frac{1}{2}$Cr=-（r-$\frac{C}{4}$）²+$\frac{{C}^{2}}{16}$，
∴当半径r=$\frac{C}{4}$时，扇形的面积最大为$\frac{{C}^{2}}{16}$，
此时，α=$\frac{l}{r}$=$\frac{C-2×\frac{C}{4}}{\frac{C}{4}}$=2（rad），
故答案为：2

点评 本题考查扇形的面积公式和弧长公式的应用，属于基础题．