Question

【题目】已知如图几何体，正方形和矩形所在平面互相垂直，，为的中点，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（I）见解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）证明平面，利用线面平行的判定，只需证明平行于平面中以一条线即可，连接，，连接，则为的中点，根据为的中点，可证；

（Ⅱ）以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，证明法向量垂直，由此可求二面角的平面角的大小．

（Ⅰ）证明：连接，，连接，

则为的中点

为的中点，

平面，平面平面；

（Ⅱ）解：因为正方形和矩形所在平面互相垂直，所以平面，

以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图取，，1，，，0，，，1，，，0，，，1，，

设平面的法向量为，，，

，，，，1，，

，不妨令，解得，1，；

同理平面的法向量为，1，，

，

二面角的大小为．