Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-|x-2|，（0≤x＜4）}\\{{2}^{x-2}-3，（4≤x≤6）}\end{array}\right.$，若存在x₁，x₂，当0≤x₁＜4≤x₂≤6时，f（x₁）=f（x₂），则x₁•f（x₂）的取值范围是（　　）

• A． [0，1）
• B． [1，4]
• C． [1，6]
• D． [0，1]∪[3，8]

Answer 1

分析 由已知中函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-|x-2|，（0≤x＜4）}\\{{2}^{x-2}-3，（4≤x≤6）}\end{array}\right.$，可得当0≤x₁＜4≤x₂≤6时，若f（x₁）=f（x₂），则x₁∈[1，3]，进而得到x₁•f（x₂）的表达式，数形结合，可得x₁•f（x₂）的取值范围．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2-|x-2|，（0≤x≤4）\\{2}^{x-2}-3，（4≤x≤6）\end{array}\right.$的图象如下图所示：


当0≤x₁＜4≤x₂≤6时，若f（x₁）=f（x₂），
则x₁∈[1，3]，
∴x₁•f（x₂）=x₁•f（x₁）=x₁•（2-|x₁-2|）=$\left\{\begin{array}{l}{x}_{1}^{2}，1≤{x}_{1}＜2\\{-x}_{1}^{2}+4{x}_{1}，2≤{x}_{1}＜3\end{array}\right.$，
其图象如下图所示：

即x₁•f（x₂）的范围是[1，4]．
故选：B

点评 本题考查的知识点是分段函数的图象和性质，分段函数的应用，数形结合思想，难度中档．