Question

（2012•平遥县模拟）已知函数f（x）=x²+alnx
（Ⅰ）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）+

2

x

在[1，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调递增区间与单调递减区间；
（Ⅱ）由题意得g'（x）=2x+

a

x

-

2

x2

，分函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数与单调减函数讨论，即可确定实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）求导函数可得f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

（x＞0）
令f′（x）＞0，则-1＜x＜0或x＞1，∵x＞0，∴x＞1；
令f′（x）＜0，则x＜-1或0＜x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；
∴函数的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．
（Ⅱ）由题意得g'（x）=2x+

a

x

-

2

x2

，
①若函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数，则2x+

a

x

-

2

x2

≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥

2

x

-2x² 在[1，+∞）上恒成立，
设Φ（x）=

2

x

-2x²，∵Φ（x）在[1，+∞）上单调递减，
∴Φ（x）≤Φ（1）=0，∴a≥0
②若函数g（x）为[1，+∞）上的单调减函数，则 g'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，不可能．
∴实数a的取值范围[0，+∞）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确运用分离参数法是关键．