Question

（2012•平遥县模拟）把正方形AA₁B₁B以边AA₁所在直线为轴旋转90⁰到正方形AA₁C₁C，其中D，E，F分别为B₁A，C₁C，BC的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：B₁F⊥平面AEF；
（3）求二面角A-EB₁-F的大小．

Answer 1

分析：（1）取AB的中点为G，连接DG，CG；根据条件可以得到CEDG是平行四边形即可得到结论；
（2）直接把问题转化为证明AF⊥B₁F以及B₁F⊥EF；
（3）先建立空间直角坐标系，求出两个半平面的法向量，再代入向量的夹角计算公式即可．

解答：（本小题满分12分）
解：（1）设AB的中点为G，连接DG，CG
∵D是A₁B的中点
∴DG∥A₁A且DG=

1

2

A1A…（2分）
∵E是C₁C的中点
∴CE∥A₁A且CE=

1

2

A1A，
∴CE∥DG且CE=DG
∴CEDG是平行四边形，
∴DE∥GC
∵DE?平面ABC，GC?平面ABC，
∴DE∥平面ABC…（4分）
（2）∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且F是BC的中点
∴AF⊥BC
∵平面ABC⊥平面BCC₁B₁
∴AF⊥平面BCC₁B₁
∴AF⊥B₁F…（6分）
设AB=AA₁=2，则在B₁FE中，B1F=

6

，
则EF=

3

，B₁E=3
∴B1E2=B1F2+EF2=9
∴△B₁FE是直角三角形，
∴B₁F⊥EF
∵AF∩EF=F
∴B₁F⊥平面AEF…（8分）
（3）分别以AB，AC，AA₁为x，y，z轴建立空间直角
坐标系A-xyz如图，
设AB=AA₁=2，则
设A（0，0，0），B₁（2，0，2），E（0，2，1），F（1，1，0），D（1，0，1）…（9分）
∵AF⊥平面BCC₁B₁，
∴面B₁FE的法向量为

AF

=（1，1，0），…（10分）
设平面AB₁E的法向量为

n

=(x，y，z)，
∵

AE

=(0，2，1)，

AD

=(1，0，1)
∴

AE

•

n

=0，

AD

•

n

=0，
∴2y+z=0，，x+z=0，
不妨设z=-2，可得

n

=(2，1，-2)…（11分）
∴cos＜

n

，

AF

＞=

n • AF

| n || AF |

=

3

3 2

=

2

2

∵二面角A-EB₁-F是锐角，
∴二面角A-EB₁-F的大小45°…（12分）

点评：本题第三问主要考查利用空间向量知识求二面角，解决问题的关键是建立适当的坐标系，并准确求出两个半平面的法向量．