Question

已知数列{a_n} 和{b_n} 的通项分别为a_n=2n-1，b_n=2ⁿ⁺¹-1（n∈N^*），集合A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=b_n，n∈N^*}，设D=C_AB．将集合D中元素从小到大依次排列，构成数列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…．
（1）写出d₁，d₂，d₃，d₄；
（2）求数列{d_n}的前2012项的和；
（3）是否存在这样的无穷等差数列{c_n}：使得C_n∈D（n∈N^*）？若存在，请写出一个这样的数列，并加以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵a_n=2n-1，b_n=2ⁿ⁺¹-1，
∴a₁=1，b₁=3；a₂=3，b₂=7；a₃=5，b₃=15；
∴A={1，3，5，7，9，11，13，…2n-1}，B={3，7，15，31，63，127，…2ⁿ⁺¹-1}，
∵D=C_AB，集合D中元素从小到大依次排列，构成数列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…．
∴d₁=1，d₂=5，d₃=9，d₄=11；
（2）b₁=3，b₂=7，b₃=15，…b₁₀=2047，b₁₁=4095，a₂₀₁₂=2×2012-1=4023，a₂₀₂₂=2n-1=4043
∴数列{d_n}的前2012项的和为a₁+a₂+…+a₂₀₁₂-（b₁+b₂+…+b₁₀）=2022²-（2¹²-14）=40402
（3）存在．如c_n=6n-1（n∈N^*），
证明：c_n=6n-1=2×3n-1，n∈N^*，所以3n∈N^*，所以c_n∈A
假设c_n∈B，则存在实数k，6n-1=2^k+1-1，所以n=（n∈N^*），
由于上式左边为整数，右边为分数，所以上式不成立，所以假设不成立，所以c_n∉B
所以c_n∈D．即c_n=6n-1（n∈N^*）满足要求．
分析：（1）根据数列的通项，写出相应的项，由此可写出d₁，d₂，d₃，d₄；
（2）数列{d_n}的前2012项的和为数列{a_n}的前2012项的和减去{b_n}的前10项的和，由此可得结论
（3）存在，列举一个c_n=6n-1=2×3n-1，n∈N^*，证明c_n∈A，c_n∉B即可．
点评：本题考查数列知识的综合，考查数量的通项与求和，解题的关键是理解数列的新定义，有难度．