Question

已知函数f（x）的定义域为N，且对任意正整数x，都有f（x）=f（x-1）+f（x+1），若f（0）=2010，求f（2010）．

Answer 1

解：因为f（x）=f（x-1）+f（x+1）
所以f（x+1）=f（x）+f（x+2）
两式相加得0=f（x-1）+f（x+2）
即：f（x+3）=-f（x）
∴f（x+6）=f（x）
f（x）是以6为周期的周期函数
2010=6×335
∴f（2010）=f（0）=2010
分析：由题设条件知，理解对任意正整数x，都有f（x）=f（x-1）+f（x+1）很关键，本题已知f（0）=2010，求f（2010）由于函数的解析式未知，且两自变量0与2010差值太大，两函数值之间的关系一般要借助函数的周期性找到关联，考查恒等式，可构造出f（x+1）=f（x）+f（x+2），与f（x）=f（x-1）+f（x+1）联立解出函数的周期，再求函数值
点评：本题考查函数中的恒成立问题，解题的关键是理解题设条件中的恒等式，由恒等变形得出函数的周期，本题的难点观察出解题的方向是研究函数的周期性，此类题有一个明显的特征那就是题设条件中必有恒等式，且要求的函数值自变量与已知函数值的自变量差值较大，不可能通过恒等式变形求出，题后注意总结这一特征，方便以后遇到同类题时能快速想到解题的方法