Question

14．已知方程$\frac{x^2}{a+4}$+$\frac{y^2}{a+5}$=1
（Ⅰ）若方程表示双曲线，求a的取值范围；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的双曲线的两个焦点为F₁，F₂，若椭圆C：x²+$\frac{y^2}{m}$=1（m＞0）的两个焦点也为F₁，F₂，且点P在椭圆C上，求△PF₁F₂的周长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据双曲线的标准方程是一正一负的关系即可求．
（Ⅱ）利用椭圆与双曲的交点相同，求出椭圆的方程，利用椭圆是的任一点到两个距离之和为2a，再加焦距可得△PF₁F₂的周长．

解答 解：（Ⅰ）根据双曲线的标准方程是一正一负的关系，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+4＞0}\\{a+5＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a+4＜0}\\{a+5＞0}\end{array}\right.$，
解得：-5＜a＜-4．
所以方程$\frac{x^2}{a+4}$+$\frac{y^2}{a+5}$=1，表示双曲线，a的取值范围是（-5，-4）．
（Ⅱ）由题意：椭圆与双曲的交点相同，
∴F₁（-1，0），F₂（1，0）．即c=1．
∵椭圆C：x²+$\frac{y^2}{m}$=1（m＞0），c=1．
∴a≠1，故而a=$\sqrt{m}$，b=1，焦点在y轴上．
∴m=$\sqrt{2}$．
又∵点P在椭圆C上，
∴△PF₁F₂的周长=2a+2c=$2\sqrt{2}+2$．

点评 本题考查了双曲线的标准方程的形式和椭圆的焦点c与a，b的关系以及椭圆的定义．属于基础题．