Question

2．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，则直线ME与平面ABCD所成角的正切值为$\sqrt{2}$；异面直线EM与AF所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{30}}{30}$．

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系．不妨取AD=2．取平面ABCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）．设直线ME与平面ABCD所成角为θ．$cos＜\overrightarrow{EM}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{EM}||\overrightarrow{n}|}$，sinθ=|$cos＜\overrightarrow{EM}，\overrightarrow{n}＞$|，即可tanθ．cos$＜\overrightarrow{EM}，\overrightarrow{AF}＞$=$\frac{\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{AF}}{|\overrightarrow{EM}||\overrightarrow{AF}|}$．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系．不妨取AD=2．
∴D（0，0，0），A（0，-2，0），B（2，-2，0），C（2，0，0），P（0，0，2），Q（0，-2，2），M（0，-1，2），E（1，-2，0），F（2，-1，0）．$\overrightarrow{AF}$=（2，1，0）．
$\overrightarrow{EM}$=（-1，1，2），取平面ABCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）．
设直线ME与平面ABCD所成角为θ．
∴$cos＜\overrightarrow{EM}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{EM}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}×1}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴tanθ=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{2}$．
cos$＜\overrightarrow{EM}，\overrightarrow{AF}＞$=$\frac{\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{AF}}{|\overrightarrow{EM}||\overrightarrow{AF}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{6}×\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{30}}{30}$．
∴异面直线EM与AF所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{30}}{30}$．
故答案为：$\sqrt{2}$；$\frac{\sqrt{30}}{30}$．

点评 本题考查了空间位置关系、空间角、法向量的应用、向量夹角公式、正方形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．