Question

已知函数f（x）=x²+3x|x-a|，其中a∈R．
（1）当a=2时，把函数f（x）写成分段函数的形式；
（2）当a=2时，求f（x）在区间[1，3]上的最值；
（3）设a≠0，函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m、n的取值范围（用a表示）．

Answer 1

解：（1）当a=2时，f（x）=x²+3x|x-a|=． …..4分
（2）结合函数f（x）的图象（图1）可得，f（1）=4，f（2）=4，f（3）=18，f（）=，
所以函数在区间[1，3]上最大值为18，最小值为4．…..8分
（3）当a＞0时，函数的图象如图2所示，要使得在开区间（m，n）有最大值又有最小值，则最小值一定在x=a处取得，最大值在x=a处取得；
又f（a）=a²，在区间（-∞，a）内，函数值为a²时，x=，所以≤m＜．
f（）=，而在区间（a，+∞）内函数值为时，
x=，所以，a＜n≤．…..12分
当a＜0时，函数的图象如图3所示，要使得在开区间（m，n）有最大值又有最小值，则最大值一定在x=a处取得，最小值在x=处取得，
f（a）=a²，在（a，+∞）内函数值为 a² 时，x=-，所以，＜n≤-，f（）=-，在区间（-∞，a）内，函数值为- 时，
x=a，所以 a≤m＜a．…..15分
综上所述，当a＞0时，≤m＜，a＜n≤．
当a＜0时， a≤m＜a，＜n≤-．…..16分．

分析：（1）当a=2时，f（x）=x²+3x|x-a|=．
（2）结合函数f（x）的图象（图1）可得函数在区间[1，3]上最大值为f（3）=18，最小值为f（2）=4．
（3）当a＞0时，函数的图象如图2所示，最小值一定在x=a处取得，最大值在x=a处取得，由此求出m、n的取值范围．当a＜0时，函数的图象如图3所示，最大值一定在x=a处取得，最小值在x=处取得，由此求出m、n的取值范围，综合可得结论．
点评：本题主要考查带有绝对值的函数，求二次函数在闭区间上的最值，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．