Question

已知数列{a_n}满足：a₁=m（m≠1），a_n+1=2a_n+3^n-1．
（1）设b_n=

an+1

3n

，求数列{b_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，若对任意的正整数n，都有a_n+1≥a_n，求实数m最小的可能取值．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由题意a_n+1=2a_n+3^n-1，得：a_n+1-3ⁿ=2（a_n-3^n-1），所以数列{a_n-3^n-1}是首项为m-1，公比为2的等比数列，进而求出a_n，即可求数列{b_n}的通项公式；
（2）由对任意的正整数n，都有a_n+1≥a_n，可得m≥-2•(

3

2

)n-1+1，利用函数的单调性，即可得出结论．

解答： 解：（1）由题意a_n+1=2a_n+3^n-1，
得：a_n+1-3ⁿ=2（a_n-3^n-1），
∴数列{a_n-3^n-1}是首项为m-1，公比为2的等比数列．
∴a_n-3^n-1=（m-1）•2^n-1，
∴a_n=3^n-1+（m-1）•2^n-1，
∵b_n=

an+1

3n

，
∴b_n=1+（m-1）•(

2

3

)n；
（2）∵对任意的正整数n，都有a_n+1≥a_n，
∴3ⁿ+（m-1）•2ⁿ≥3^n-1+（m-1）•2^n-1，
∴m≥-2•(

3

2

)n-1+1，
∵f（x）=-2•(

3

2

)x-1+1在R上单调递减，
∴m≥-2+1=-1，
∴实数m最小的可能取值为-1．

点评：本题考查数列的通项，考查恒成立问题，考查等比数列的证明，正确构造数列是关键．