Question

已知函数f（x）=e^x（ax²+x+1）．
（Ⅰ）设a＞0，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a=-1，证明：对?x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．

Answer 1

（Ⅰ）∵f'（x）=e^x（ax²+x+1+2ax+1）=e^x（x+2）（x+1）．  （3分）
令f'（x）＞0，得（x+2）（x+1）＞0，注意到a＞0，
∴当a∈（0，

1

2

）时，f（x）在（-∞，-

1

a

）上是增函数，在（-

1

a

，-2）上是减函数，在（-2，+∞）上递增；
当a=

1

2

时，f（x）在（-∞，+∞）上递增；
当a∈（

1

2

，+∞）时，f（x）在（-∞，-2）上递增，
在（-2，-

1

a

）上递减，在（-

1

a

，+∞）上递增．           （8分）
（Ⅱ）∵a=-1，由（Ⅰ）f'（x）=-e^x（x+2）（x-1），
∴f（x）在[0，1]上单调增加，
故f（x）在[0，1]上的最大值为f（1）=e，最小值为f（0）=1．
从而对?x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．     （12分）