Question

已知函数f（x）=x³+ax²-2x+5，
（1）若函数f（x）在（-，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，求实数a的值；
（2）是否存在实数a，使得f（x）在（-2，）上单调递减，若存在，试求a的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）若a=-，当x∈（-1，2）时不等式f（x）＜m有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）求导函数可得f′（x）=3x²+2ax-2，
∵函数f（x）在（-，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴x=1是方程f′（x）=0的根，解得a=- …..（3分）
（2）由题意得：f′（x）=3x²+2ax-2≤0在（-2，）上恒成立，
∴，∴，∴ …..（7分）
（3）当a=-时，f（x）=x³-x²-2x+5，，
由f′（x）=0得x=-或1
列表：

x	-1	（-1，-）	-	（-，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）							7

∴x∈（-1，2）时，f（x）的最小值为，此时x=1
欲使不等式f（x）＜m有解，只需m≥[f（x）]_min=
∴实数m的取值范围为[，+∞）． …（12分）
分析：（1）求导函数，根据函数f（x）在（-，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，可得x=1是方程f′（x）=0的根，从而可求实数a的值；
（2）由题意得：f′（x）=3x²+2ax-2≤0在（-2，）上恒成立，由此可实数a的取值范围；
（3）求导函数，求导函数x∈（-1，2）时，f（x）的最小值，欲使不等式f（x）＜m有解，只需m≥[f（x）]_min，从而可求实数m的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查函数的最值，区分恒成立与有解是解题的关键．