Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：和圆C₂：。

（1）若直线过点A（4，0），且被圆C₁截得的弦长为，求直线的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆C₁和圆C₂相交，且直线被圆C₁截得的弦长与直线被圆C₂截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。

Answer 1

解：由题意，C₁（-3，1），r₁=2，C₂（4，5），r₂=2，
（1）由题意，直线的斜率一定存在，
设直线的方程为：，即，
由垂径定理可得：圆心C₁到直线的距离，
结合点到直线的距离公式，得，
化简，得，解得：k=0或，
所以，直线的方程为：y=0或，即y=0或7x+24y-28=0。
（2） 设点P坐标为（m，n），由题意，
设直线，的方程分别为：，
即，
因为直线被圆C₁截得的弦长与直线被圆C₂截得的弦长相等，且两圆半径相等，
由垂径定理可得：圆心C₁到直线与圆心C₂到直线的距离相等，
故有，
化简，得（2-m-n）k=m-n-3或（m-n+8）k=m+n-5，
关于k的方程有无穷多解，有：或，
解之得：点P坐标为或。