Question

已知函数f（x）=x+

a

x

（a≠0），过P（1，0）作f（x）图象的切线l．
（1）当a=-2时，求出所有切线l的方程．
（2）探求在a≠0的情况下，切线l的条数．
（3）如果切线l有两条，切点分别为M₁（x₁，x₂），M₂（x₂，y₂），求g（a）=|M₁M₂|的解析式．

Answer 1

分析：（1）当a=-2时，得出函数的解析式，验证知点P不在曲线上，故设出切点M₀（x₀，y₀），求出此点的导数写出点斜式方程，再由此点在曲线上，代入曲线方程，两个方程联立求出切点的横坐标即可以求出切线的斜率由此即得所有切线l的方程；
（2）求出导数，根据参数a的取值范围对导数有解的情况进行分析，有几个解则有几条切线；
（3）如果切线l有两条，切点分别为M₁（x₁，x₂），M₂（x₂，y₂），则x₁，x₂满足方程x²+2ax-a=0，由此可以求得两点横坐标的和与积，再用两点间距离公式求出g（a）的表达式将两根之和与两根之积代入即可．|

解答：解：（1）．当a=-2时，f（x）=x+

2

x

，所以P不在f（x）的图象上，设切点为M₀（x₀，y₀）
∵f′（x）=1+

2

x2

，∴f′（x₀）=1+

2

x 02

=k PM 0=

y0-0

x0-1

，
又y₀=x₀+

2

x0

，代入整理得：x₀²-4x₀+2=0，即x₀=2±

2

，
∴f′（x₀）=1+

2

x 02

=1+

1

3±2 2

∴切线l的方程：y=（1+

1

3±2 2

）（x-1）
（2）．f′（x）=1-

a

x2

只有当a=-1时，点P在f（x）的图象上，
∴只有当a=-1时，P可以是切点且l的方程：y=2x-2．
当P是不是切点时，设切点为M₀（x₀，y₀），x₀≠0，
∵f′（x）=1-

a

x2

，∴f′（x₀）=1-

a

x2

=k PM 0=

y0-0

x0-1

，
又y₀=x₀+

a

x0

，代入整理得：x₀²+2ax₀-a=0，，┉①
△=4a²+4a，经检验，x₀=1不满足方程．
当a＞0或a＜-1时，△＞0，切点有两个；
当-1＜a＜0时，△＜0，没有切点；
综上所述：
当-1＜a＜0时，没有切线l存在；
当a=-1时，只有一条切线l；
当a＞0或a＜-1时，有两条切线l存在
（3）由（2）问可知，当a＞0或a＜-1时，有两条切线l存在．
由①式可知：x₁，x₂满足方程x²+2ax-a=0，
即x₁+x₂=-2a，x₁x₂=-a
∵y₁=x₁+

a

x1

，y₂=x₂+

a

x2

∴g（a）=\M₁M₂\=

(x1-x2) 2+(y1-y2) 2

=

(x1-x2)2[1+(1- a x1x2 )2]?

=

5(x1-x2)2?

=

5[(x1+x2)2-4x1x2]?

=2

5(a2+a)

∴g（a）=2

5(a2+a)

，a＞0或a＜-1

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，解题的关键是正确求出导数，根据曲线切线的几何特征建立方程求切点的横坐标，在第二问中由于参数的取值范围不同会对导数解的个数有影响，故需要对其有几个根进行研究，对参数分类讨论，三中关键是判断出此时两切点的横坐标是所得方程的两个根，利用根系关系将两根之和与两根之积表示出来，以达到用参数表示出g（a）的目的，本题容易因为没有验证点P是否在曲线上导致问题无法求解，所给的点是切点与不是切点，其求法是不一样的，对此可以参考本题第二小题．