Question

8．偶函数的定义域为R，x∈[0，+∞）时，f（x）=3^x+2x²+x．
（1）判断f（x）的单调性（不用证明）；
（2）求f（x）在（-∞，0）上的解析式；
（3）解不等式f（a²-3a+7）-f（4a-2a²-5）＞0．

Answer 1

分析 （1）求导数，结合函数是偶函数，判断f（x）的单调性；
（2）设x＜0，则-x＞0，利用条件求f（x）在（-∞，0）上的解析式；
（3）不等式f（a²-3a+7）-f（4a-2a²-5）＞0可化为不等式f（a²-3a+7）＞f（2a²-4a+5），利用函数在[0，+∞）上单调递增，可得a²-3a+7＞2a²-4a+5，即可得出结论．

解答 解：（1）x∈[0，+∞）时，f′（x）=3^xln3+4x+1＞0，
∴函数在[0，+∞）上单调递增，
∵函数的偶函数，
∴函数在（-∞，0）上单调递减；
（2）设x＜0，则-x＞0，
∵x∈[0，+∞）时，f（x）=3^x+2x²+x，
∴f（-x）=3^-x+2x²-x．
∵函数的偶函数，
∴f（x）=3^-x+2x²-x；
（3）不等式f（a²-3a+7）-f（4a-2a²-5）＞0可化为不等式f（a²-3a+7）＞f（2a²-4a+5）．
∵函数在[0，+∞）上单调递增，
∴a²-3a+7＞2a²-4a+5，
∴-1＜a＜2．
∴不等式的解集为{a|-1＜a＜2}．

点评 本题考查函数的单调性、奇偶性，考查学生解不等式的能力，确定函数的单调性是关键．