Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象经过坐标原点，且在x=1处取得极大值．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若方程f（x）=-

(2a+3)2

9

恰好有两个不同的根，求f（x）的解析式；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的函数f（x），对任意α，β∈R，求证：|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤81．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先确定C的值，再由极值确定a的取值范围，（Ⅱ）结合图象可知-

(2a+3)2

9

是极值；（3）实质是求最值的差．

解答： 解：（I）由题意，f（0）=0，
∴c=0，
则f（x）=x³+ax²+bx，f′（x）=3x²+2ax+b，且f′（1）=0．
即3+2a+b=0
∴b=-2a-3，
∴f′（x）=3x²+2ax-2a-3=3（x-1）（x+

2a+3

3

），
因为当x=1时取得极大值，
所以

2a+3

3

＜-1，即a＜-3；
所以a的取值范围为（-∞，-3）．
（II）由下表：

x	（-∞，1）	1	（1，- 2a+3 3 ）	- 2a+3 3	（-- 2a+3 3 ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	-
f（x）	递增	极大值-a-2	递减	极小值 a+6 27 (2a+3)2	递增

依题意得：

a+6

27

(2a+3)2=-

(2a+3)2

9

或-a-2=-

(2a+3)2

9

，
又由a＜-3解得：a=-9．
所以函数f（x）=x³-9x²+15x．
（III）对任意的实数α，β都有-2≤2sinα≤2，-2≤2sinβ≤2，
在区间[-2，2]有：f（-2）=-74，f（2）=2，f（1）=7；
因此f（x）_最大值=7，f（x）_最小值=-74．
所以|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤7-（-74）=81．

点评：本题综合考查了函数的性质与图象及导数的综合应用，属于难题．