Question

函数f（x）=ax（x-1）²（a≠0）有极大值

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．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若对于任意的x∈[0，2]都有f（x）＜k²-3k成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=3ax²-4ax+a=a（3x-1）（x-1），由此利用导数性质求出f（x）=2x（x-1）²．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x（x-1）²．f′（x）=6x²-8x+2=2（3x-1）（x-1），由此利用导数性质推导出f（x）_最大值=f（2）=4＜k²-3k．从而能求出实数k的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³-2ax²+ax，
∴f′（x）=3ax²-4ax+a=a（3x-1）（x-1），
由f′（x）=0，得x=

1

3

或x=1，
当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＜

1

3

或x＞1；由f′（x）＜0，得

1

3

＜x＜1，
∴函数的增区间为（-∞，

1

3

），（1，+∞）；
函数的减区间为（

1

3

，1）．
∴f（x）_极大值=f（

1

3

）=

1

3

a(

1

3

-1)2=

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，解得a=2．
∴f（x）=2x（x-1）²．
当a＜0时，当a＞0时，由f′（x）＜0，得x＜

1

3

或x＞1；由f′（x）＞0，得

1

3

＜x＜1，
∴函数的减区间为（-∞，

1

3

），（1，+∞）；
函数的增区间为（

1

3

，1），
∴f（x）_极大值=f（1）=0≠

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，不成立．
综上所述，f（x）=2x（x-1）²．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x（x-1）²．
f′（x）=6x²-8x+2=2（3x-1）（x-1），
由f′（x）=0，得x=

1

3

或x=1，
当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＜

1

3

或x＞1；由f′（x）＜0，得

1

3

＜x＜1，
∴函数的增区间为（-∞，

1

3

），（1，+∞）；
函数的减区间为（

1

3

，1）．
又f（0）=0，f（1）=0，f（

1

3

）=

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，f（2）=4，
∴f（x）_最大值=f（2）=4．
∵对于任意的x∈[0，2]都有f（x）＜k²-3k成立，
∴f（x）_最大值=f（2）=4＜k²-3k．
解得k＜-1或k＞4．
∴实数k的取值范围是（-∞，-1）∪（4，+∞）．

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．