Question

设正项数列{a_n}的前n项和为S_n，并且对于任意n∈N^*，a_n与1的等差中项等于

Sn

，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=a_n（

1

3

）ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）由a_n与1的等差中项等于

Sn

得递推式S_n=

(an+1)2

4

，由此求出数列首项，结合a_n+1=S_n+1-S_n得到
{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，则数列{a_n}的通项公式可求；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=a_n（

1

3

）ⁿ，然后利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知得，

Sn

=

an+1

2

，即S_n=

(an+1)2

4

．
∴a₁=S₁=1．
又∵a_n+1=S_n+1-S_n=

1

4

[（a_n+1+1）²-（a_n+1）²]，
∴（a_n+1-1）²-（a_n+1）²=0，
即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=2，
∴{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴a_n=2n-1；
（2）b_n=a_n（

1

3

）ⁿ=（2n-1）(

1

3

)n，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=1•(

1

3

)1+3•(

1

3

)2+…+(2n-1)(

1

3

)n．

1

3

Tn=1•(

1

3

)2+3•(

1

3

)3+…+(2n-3)(

1

3

)n+(2n-1)(

1

3

)n+1．
两式作差得：

2

3

Tn=

1

3

+2[(

1

3

)2+(

1

3

)3+…+(

1

3

)n]-(2n-1)(

1

3

)n+1
=

1

3

+2×

1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-(2n-1)(

1

3

)n+1．
∴Tn=1-

n+1

3n

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．