Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AB=AC=BC=AA₁，D，E分别为BC，BB₁的中点．
（1）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（2）求证CE⊥平面AC₁D；
（3）直线C₁A₁与平面AC₁D所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接A₁C，交AC₁于N，连接DN，证明DN∥A₁B，即可证明A₁B∥平面AC₁D；
（2）根据BB₁⊥平面ABC，得到BB₁⊥AD，等腰△ABC中根据“三线合一”，得到AD⊥BC，从而证出AD⊥平面BB₁C₁C，可得AD⊥CE．正方形BB₁C₁C中，根据Rt△CBE≌Rt△C₁CD证出C₁D⊥CE，再利用线面垂直判定定理即可证出CE⊥平面AC₁D；
（3）求出A₁到平面AC₁D的距离，即可求出直线C₁A₁与平面AC₁D所成的角的正弦值．

解答： （1）证明：连接A₁C，交AC₁于N，连接DN，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
所以N为A₁C的中点，又D为BC中点．所以DN∥A₁B，
DN?平面AC₁D，A₁B?平面AC₁D，
所以A₁B∥平面AC₁D．
（2）证明：∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴BB₁⊥AD，
∵△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，
∵BC、BB₁是平面BB₁C₁C内的相交直线，∴AD⊥平面BB₁C₁C，
∵CE?平面BB₁C₁C，∴AD⊥CE，
∵正方形BB₁C₁C中，D、E分别为BC、BB₁的中点，
∴Rt△CBE≌Rt△C₁CD，∠CC₁D=∠BCE，可得∠BCE+∠C₁DC=90°，得C₁D⊥CE，
∵AD、C₁D是平面AC₁D内的相交直线，∴CE⊥平面AC₁D；
（3）解：设AB=AC=BC=AA₁=2，则△AC₁D中，AC₁=2

2

，C₁D=

5

，AD=

3

，
∴S△AC1D=

1

2

×

3

×

5

=

15

2

，
设A₁到平面AC₁D的距离为h，即B到平面AC₁D的距离为h，
∵S△C1DB=

1

2

×1×2=1，
∴

1

3

×

15

2

×h=

1

3

×1×

3

，
∴h=

5

2

，
∴直线C₁A₁与平面AC₁D所成的角的正弦值

5

4

．

点评：本题在特殊的正三棱柱中证明线面平行、线面垂直，并求直线与平面所成角．着重考查了空间平行、垂直位置关系的判断与证明和直线与平面所成角的定义及求法等知识，属于中档题．