Question

已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log_a（x-1），g（x）=log 

1

a

（3-x）
（1）若h（x）=f（x）-g（x），求函数h（x）的值域；
（2）利用对数函数单调性讨论不等式f（x）+g（x）≥0中x的取值范围．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）化简h（x）=f（x）-g（x），求出函数的定义域，然后通过a的范围讨论函数h（x）的值域；
（2）利用对数函数单调性，讨论a的范围，列出不等式f（x）+g（x）≥0的不等式组，求出x的取值范围．

解答： 解：（1）h(x)=loga(x-1)-log

1

a

(3-x)=loga(x-1)(3-x)
由

x-1＞0 3-x＞0

得1＜x＜3所以函数h（x）的定义域为（1，3）
令t=（x-1）（3-x）而x∈（1，3）所以t∈（0，1]
当0＜a＜1时log_at≥0即h（x）≥0
当a＞1时log_at≤0即h（x）≤0
所以当0＜a＜1时函数h（x）的值域为[0，+∞）；当a＞1时函数h（x）的值域为（-∞，0]
（2）由f（x）+g（x）≥0得f（x）≥-g（x）即log_a（x-1）≥log_a（3-x）①
当0＜a＜1时要使不等式①成立则

x-1＞0 3-x＞0 x-1≤3-x

即1＜x≤2
当时要使不等式①成立则

x-1＞0 3-x＞0 x-1≥3-x

即2≤x＜3
综上所述当0＜a＜1时不等式f（x）+g（x）≥0中x的取值范围为（1，2]
当a＞1时不等式f（x）+g（x）≥0中x的取值范围为[2，3）

点评：本题考查函数的单调性的应用，分类讨论的应用，不等式组的解法，考查转化思想以及计算能力．