Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c图象上的点P（1，f（1））处的切线方程为y=-3x+1．
（1）若函数f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的表达式；
（2）函数f（x）在区间[-2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=-3x²+2ax+b，由函数f（x）在x=1处的切线斜率为-3，可得f′（1）=-3；又f（1）=-1+a+b+c=-2；由函数f（x）在x=-2时有极值，可得f′（-2）=0，联立解得即可．
（2）由于函数f（x）在区间[-2，0]上单调递增，可得导函数f′（x）=-3x²-bx+b在区间[-2，0]上的值恒大于或等于零，因此

f′(-2)=-12+2b+b≥0 f′(0)=b≥0

，解得即可．

解答： 解：（1）f′（x）=-3x²+2ax+b，
函数f（x）在x=1处的切线斜率为-3，
∴f′（1）=-3+2a+b=-3，即2a+b=0，
又f（1）=-1+a+b+c=-2得a+b+c=-1．  
∵函数f（x）在x=-2时有极值，
∴f′（-2）=-12-4a+b=0，
联立

2a+b=0 a+b+c=-1 -12-4a+b=0

，
解得a=-2，b=4，c=-3，
∴f（x）=-x³-2x²+4x-3．
（2）∵函数f（x）在区间[-2，0]上单调递增，
∴导函数f′（x）=-3x²-bx+b在区间[-2，0]上的值恒大于或等于零，
则

f′(-2)=-12+2b+b≥0 f′(0)=b≥0

，
解得b≥4，
∴实数b的取值范围为[4，+∞）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．