Question

【题目】设等差数列的前项和为，已知， ．

（1）求；

（2）若从中抽取一个公比为的等比数列，其中，且，

（i）求的通项公式；

（ii）记数列的前项和为，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出满足的条件；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（ⅰ）（ⅱ）存在正整数，且，使得成等差数列。

【解析】

（1）先根据条件列出关于公差与首项的方程组,解得结果代入等差数列通项公式即可.

（2）（i）由题可知，又因为，则，，则可求出，根据等比数列的通项公式即可得出的通项公式；

（ii）根据等比数列的前项和公式得出,又判断是递增的,

假设存在正整数且,使得成等差数列,由等差中项可得,代入，可得当且仅当,使得成等差数列．

解：（1）等差数列的公差设为,前项和为,

由，,可得,可得,

；

（2）（i）若从中抽取一个公比为的等比数列,

其中,且,

可得 , ,解得,

,即有；

（ii）数列的前项和,

由,

可得递增,

假设存在正整数且,使得成等差数列,

可得,即 ,

可得,由,可得,

则,得 ,

故不存在,使得成等差数列；

若显然符合题意,

综上可得存在正整数,且,使得成等差数列．