Question

如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．若双曲线以A，B为焦点，且过C，D两点，则当梯形ABCD的周长最大时，双曲线的实轴长为（　　）

• A、

  3

  +1
• B、2

  3

  +2
• C、

  3

  -1
• D、2

  3

  -2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设∠BAC=θ，作CE⊥AB于点E，则可表示出BC，EB，CD，进而可求得梯形的周长的表达式，根据二次函数的性质求得周长的最大值时θ的值，则AC和BC可求，进而根据双曲线的定义求得双曲线的长轴，

解答： 解：设∠BAC=θ，作CE⊥AB于点E，

则BC=2Rsinθ，EB=BCcos（90°-θ）=2Rsin²θ，有CD=2R-4Rsin²θ，
梯形的周长l=AB+2BC+CD=2R+4Rsinθ+2R-4Rsin²=8+8sinθ-8sin²θ=-8（sinθ-

1

2

）²+10
当sinθ=

1

2

，即θ=30°时，l有最大值10，
∴BC=2，AC=2

3

，a=

1

2

（AC-BC）=

3

-1，
∴双曲线的实轴长为2a=2

3

-2
故选：D．

点评：本题主要考查了双曲线的应用，双曲线的定义．考查了学生分析问题和解决问题的能力．