已知函数f(A＞0.ω＞0.|φ|≤π2.x∈R)的图象的一个对称中心的横坐标为-43.它在y轴右侧的第一个最大值点和第一个最小值点的坐标分别为(x0.3)和(x0+8.-3)．(1)求此函数的解析式f的对称轴的方程,沿y轴向下平移一个单位.然后纵坐标不变.横坐标缩短为原来的π4.得到函数g图象上的所有点向右平移π3个单位.得到函数h＞α1+sinx� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤

，x∈R）的图象的一个对称中心的横坐标为-

，它在y轴右侧的第一个最大值点和第一个最小值点的坐标分别为（x₀，3）和（x₀+8，-3）．
（1）求此函数的解析式f（x），并指出f（x）的对称轴的方程；
（2）先把f（x）沿y轴向下平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的

，得到函数g（x），再把g（x）图象上的所有点向右平移

个单位，得到函数h（x），若x∈[0，π]时，h（x）＞

1+sinx

恒成立，求实数α的取值范围．

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意可得函数的解析式f（x）=3sin（

），由

=kπ+

解x可得；（2）由函数图象的变换可得h（x）=3sin

x-1，问题转化为α＜（3sin

x-1）

1+sinx

，对x∈[0，π]恒成立，而（3sin

x-1）

1+sinx

的最小值为-1，（x=0时），故而可得答案．

解答： 解：（1）由题意可得A=3，

=x₀+8-x₀=8，
∴ω=

，∴f（x）=3sin（

x+φ），
∵图象的一个对称中心的横坐标为-

，
∴

×（-

）+φ=kπ，∴φ=kπ+

，k∈Z
∵|φ|≤

，∴φ=

，∴f（x）=3sin（

），
由

=kπ+

可得x=8k+

，
∴f（x）的对称轴的方程为x=8k+

，k∈Z；
（2）由（1）和函数图象的变换可得g（x）=3sin（

）-1，
又∵g（x）图象上的所有点向右平移

个单位，得到函数h（x），
∴h（x）=3sin[

（x-

）+

]-1=3sin

x-1，
∵x∈[0，π]时，h（x）＞

1+sinx

恒成立，
∴α＜（3sin

x-1）

1+sinx

，对x∈[0，π]恒成立，
∵（3sin

x-1）

1+sinx

的最小值为-1，（x=0时）
∴实数α的取值范围为（-∞，-1）．

点评：本题考查三角函数图象的变换，涉及函数的恒成立，属中档题．

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