Question

【题目】如图，四边形是边长为3的菱形，平面.

（1）求证：平面；

（2）若与平面所成角为，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由已知线面垂直得，结合菱形对角线垂直，可证得线面垂直；

（2）由已知知两两互相垂直.以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，由已知线面垂直知与平面所成角为，这样可计算出的长，写出各点坐标，求出平面的法向量，由法向量夹角可得二面角．

证明：（1）因为平面，平面，所以.

因为四边形是菱形，所以.

又因为，平面，平面，

所以平面.

解：（2）据题设知，两两互相垂直.以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，

因为与平面所成角为，即，所以

又，所以，

所以

所以

设平面的一个法向量，则令，则.

因为平面，所以为平面的一个法向量，且

所以，

．

所以二面角的正弦值为.