Question

2．求函数y=x²+|x-a|+1的值域．

Answer 1

分析 去绝对值号，原函数变成y=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-a+1}&{x≥a}\\{{x}^{2}-x+a+1}&{x＜a}\end{array}\right.$，这两段函数都是二次函数，对称轴分别为x=$-\frac{1}{2}$，$x=\frac{1}{2}$，这样便要对a讨论：分成a$≤-\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2}$，和$a≥\frac{1}{2}$三种情况，在每种情况里，又要分x≥a和x＜a，然后可根据二次函数的单调性及取得顶点情况求出原函数的值域．

解答 解：$y={x}^{2}+|x-a|+1=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-a+1}&{x≥a}\\{{x}^{2}-x+a+1}&{x＜a}\end{array}\right.$，设y=f（x）；
（1）a$≤-\frac{1}{2}$时，①若x≥a，f（x）=x²+x-a+1，对称轴为x=$-\frac{1}{2}$；
∴$f（x）≥f（-\frac{1}{2}）=\frac{-4a+3}{4}$；
②若x＜a，f（x）=x²-x+a+1，对称轴为x=$\frac{1}{2}$；
∴f（x）在（-∞，a）上单调递减；
∴f（x）＞f（a）=a²+1；
${a}^{2}+1-\frac{-4a+3}{4}=（a+\frac{1}{2}）^{2}≥0$；
∴${a}^{2}+1≥\frac{-4a+3}{4}$；
∴原函数的值域为[$\frac{-4a+3}{4}$，+∞）；
（2）$-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2}$时，①若x≥a，f（x）在[a，+∞）上单调递增；
∴f（x）≥f（a）=a²+1；
②若x＜a，f（x）在（-∞，a）上单调递减；
∴f（x）＞f（a）=a²+1；
∴f（x）的值域为[a²+1，+∞）；
（3）a$≥\frac{1}{2}$时，①若x≥a，f（x）在[a，+∞）上单调递减；
∴f（x）≥f（a）=a²+1；
②若x＜a，则：f（x）$≥f（\frac{1}{2}）=a+\frac{3}{4}$；
${a}^{2}+1-（a+\frac{3}{4}）=（a-\frac{1}{2}）^{2}≥0$；
∴f（x）的值域为$[a+\frac{3}{4}，+∞）$．

点评 考查函数值域的概念，分类讨论的思想，以及含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，根据二次函数的单调性及取得顶点情况求函数的值域．