Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，函数F（x）=f（tanx）．
（1）判断F（x）的奇偶性并加以证明；
（2）求证：方程F（x）=0至少有一个实根．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：（1）判断F（-x）与F（x）的关系；
（2）利用奇函数F（0）=0结合正切函数的周期性可得．

解答： 解：（1）F（x）为奇函数；
证明：因为函数F（x）的定义域为R，
F（-x）=f（tan（-x））=f（-tanx）．
由于 f（x）是定义在r上的奇函数，则-f（x）=f（-x）
所以f（-tanx）．=-f（tanx）．=-F（x）
则F（x）=-F（-x）
所以F（x）为奇函数；
（2）因为f（x）是定义在R上的奇函数，则y=f（x）必过（0，0）
由于F（x）=f（tanx）
则tanx=0，
x=kπ（k为整数）
F（x）=0的解为x=kπ
所以F（x）=0至少有一个实根．

点评：本题考查了函数的奇偶性的判断以及函数零点与方程根的关系，经常考查，注意掌握．