Question

已知椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）为椭圆C上不同的点，直线MN的斜率为k₁，A点满足

OM

+

ON

=λ

OA

（λ≠0）的点，且直线OA的斜率为k₂，求k₁+k₂的值．

Answer 1

考点：椭圆的应用

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意，

OM

=（x₁，y₁），

ON

=（x₂，y₂），又由

OM

+

ON

=λ

OA

（λ≠0），k₁=

y2-y1

x2-x1

，k₂=

y1+y2

x1+x2

，化简可得k₁+k₂=-

3

sinβcosβ-sinacosa

cos2a-cos2β

．

解答： 解：由题意，

OM

=（x₁，y₁），

ON

=（x₂，y₂）；
∵

OM

+

ON

=λ

OA

（λ≠0），
∴

OA

=

1

λ

（

OM

+

ON

）
=

1

λ

（x₁+x₂，y₁+y₂），
∴k₁=

y2-y1

x2-x1

，k₂=

y1+y2

x1+x2

，
∴k₁+k₂=

y2-y1

x2-x1

+

y1+y2

x1+x2

=

1

(x2-x1)(x2+x1)

[（y₂-y₁）（x₁+x₂）+（y₂+y₁）（x₂-x₁）]
=2

1

(x2-x1)(x2+x1)

（y₂x₂-y₁x₁）
设x₁=2cosa，y₁=

3

sina，x₂=2cosβ，y₂=

3

sinβ，
则2

1

(x2-x1)(x2+x1)

（y₂x₂-y₁x₁）
=-

3

sinβcosβ-sinacosa

cos2a-cos2β

．

点评：本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系，同时考查了直线的斜率，属于中档题．