Question

如图，椭圆

x2

16

+

y2

9

=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，一条直线l经过点F₁与椭圆交于A、B两点．
（1）求△ABF₂的周长；
（2）若直线l的倾斜角为45°，求△ABF₂的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由椭圆的定义，得出|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂=2a，求出△ABF₂的周长；
（2）求出直线l的方程，与椭圆方程联立，消去x，由根与系数的关系求出|y₁-y₂|的值，即可计算△ABF₂的面积S．

解答： 解：（1）在椭圆

x2

16

+

y2

9

=1中，
|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a=8，
∴△ABF₂的周长为
|AB|+|BF₂|+|AF₁|=|BF₁|+|AF₁|+|AF₂|+|BF₂
=2a+2a=16；
（2）当直线l的倾斜角为45°时，直线的向量是k=tan45°=1，且过焦点F₁（-

7

，0）；
∴直线方程为y=x+

7

；
∴

y=x+ 7 x2 16 + y2 9 =1

，
消去x，得9(y-

7

)2+16y²=144，
整理得25y²-18

7

y-81=0，
∴

y1+y2= 18 7 25 y1y2=- 81 25

；
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( 18 7 25 )2-4×(- 81 25 )

=

72

25

2

；
∴△ABF₂的面积S=

1

2

|F₁F₂|•|y₁-y₂|=

1

2

×2

7

×

72

25

2

=

72

25

14

．

点评：本题考查了直线与椭圆的方程的应用问题，也考查了椭圆的定义的应用问题，是中档题．