Question

11．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值是12，则4a²+9b²的最小值为（　　）

• A． 8
• B． 18
• C． 36
• D． 48

Answer 1

分析 首先由约束条件画出可行域，利用目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值是12，确定a，b之间的关系，二次函数的图象和性质确定函数的最小值

解答 解：作出不等式对应的平面区域如图：
由z=ax+by（a＞0，b＞0），
得y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
平移直线y=$-\frac{a}{b}$x，由图象可知当直线y=-$\frac{a}{b}$经过点A时，直线y$-\frac{a}{b}$的截距最大，此时确定最大值12，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，得A（4，6），代入目标函数得到4a+6b=12，即a=3-1.5b，
所以4a²+9b²=4（3-1.5b）²+9b²=18b²-36b+36=18（b-1）²+18≥18，
所以4a²+9b²的最小值为18．
故选：B

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，确定a，b的关系是解决本题的关键，利用二次函数的性质求最值．