Question

19．设f（x）=|x²+2x-1|，若a＜b＜-1，且f（a）=f（b），则（a+1）（b+1）的取值范围是（　　）

• A． （-1，1）
• B． （0，1）
• C． （0，2）
• D． （1，2）

Answer 1

分析 f（x）是一个对称轴为 x=-1 抛物线，然后把 x轴下方的图形关于x轴翻折上去，设这个图形与x轴交点分别为x₁，x₂，那么必然有-3＜a＜x₁＜b＜-1，可求出b-a的范围，而（a+1）（b+1）=ab+a+b+1=ab+2-$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$=2-$\frac{（b-a）^{2}}{2}$，即可求出所求．

解答 解：f（x）=|x²+2x-1|=|（x+1）²-2|，
这是一个对称轴为 x=-1 抛物线，然后把 x轴下方的图形关于x轴翻折上去，
设这个图形与x轴交点分别为x₁，x₂（x₁＜x₂）
那么在x₁＜x＜x₂，f（x）有最大值，在x=-1时取得，f（-1）=2
解方程 f（x）=|x²+2x-1|=2，可以算出x=-3或者1
那么必然有-3＜a＜x₁＜b＜-1，
若a＜b＜-1，且f（a）=f（b），此时a²+2a-1＞0，b²+2b-1＜0
那么有a²+2a-1=-（b²+2b-1）
解得：a+b=1-$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$，
（a+1）（b+1）=ab+a+b+1=ab+2-$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$=2-$\frac{（b-a）^{2}}{2}$，
判断a-b的取值范围，显然 0＜b-a＜（-1）-（-3）=2
那么0＜（b-a）²＜4
0＜2-$\frac{（b-a）^{2}}{2}$＜2，
即：（a+1）（b+1）∈（0，2）．
故选：C

点评 本题主要考查了二次函数的性质，同时考查了分析问题的能力，计算能力，讨论的数学思想，属于中档题．