Question

11．已知函数f（x）=asinx+cosx在[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{3}$]上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-$\sqrt{3}$，-1]
• B． [-1，+∞）
• C． [1，+∞）
• D． [$\sqrt{3}$，+∞）

Answer 1

分析 先看a=0时，已知条件不成立，再看a≠0时，利用辅角公式对函数解析式化简，根据三角函数的单调性求得φ的范围，则a的范围可求．

解答 解：①当a=0时，函数f（x）=asinx+cosx在[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{3}$]上单调递减，结论不成立．
②当a≠0时，f（x）=asinx+cosx=$\sqrt{{a}^{2}+1}$•sin（x+φ），其中tanφ=$\frac{1}{a}$，
要使函数单调增需-$\frac{π}{2}$≤x+φ≤$\frac{π}{2}$，即-$\frac{π}{2}$-φ≤x≤$\frac{π}{2}$-φ．
∵函数f（x）在在[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{3}$]上单调递增，
∴$\frac{π}{2}$-φ≥$\frac{π}{3}$，且-$\frac{π}{2}$-φ≤-$\frac{π}{4}$．
求得-$\frac{π}{4}$≤φ≤$\frac{π}{6}$，
∴-1≤tanφ≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即-1≤$\frac{1}{a}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求得a≤-1，或a≥$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数的性质，三角函数的单调性，辅角公式的运用．解题的关键是求得φ的范围，属于中档题．