Question

8．若A、B是△ABC的内角，且$cosA=\frac{3}{5}$，$sinB=\frac{5}{13}$，则sinC=$\frac{63}{65}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinA、cosB的值，再利用诱导公式、两角和的正弦公式求得 sinC=sin（A+B）的值．

解答 解：由于A、B是△ABC的内角，且$cosA=\frac{3}{5}$，∴sinA=$\frac{4}{5}$＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴A∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）．
又sinB=$\frac{5}{13}$＜$\frac{1}{2}$，∴B∈（0，$\frac{π}{6}$），或B∈（$\frac{5π}{6}$，π）（舍去），∴cosB=$\frac{12}{13}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{4}{5}×\frac{12}{13}$+$\frac{3}{5}×\frac{5}{13}$=$\frac{63}{65}$，
故答案为：$\frac{63}{65}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和的正弦公式，属于中档题．