Question

4．函数f（x）=lg（a^x-b^x），常数a＞1＞b＞0，则不等式f（x）＞0的解集是（1，+∞）的充要条件是（　　）

• A． a＞b+1
• B． a=b+1
• C． a＜b+1
• D． a≥b+1

Answer 1

分析 由a^x-b^x＞0，可得函数的定义域为（0，+∞），然后由定义法证函数为增函数，进而可得f（x）＞f（1），只需f（1）＞0，解之可得．

解答 解：：由a^x-b^x＞0，得（$\frac{a}{b}$）^x＞1=（$\frac{a}{b}$）⁰，由于（$\frac{a}{b}$）＞1，所以x＞0，
故f（x）的定义域为（0，+∞），任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
∴f（x₁）=lg（a^x₁-b^x₁），f（x₂）=lg（a^x₂-b^x₂）
而f（x₁）-f（x₂）=（a^x₁-b^x₁）-（a^x₂-b^x₂）=（a^x₁-a^x₂）+（b^x₂-b^x₁）
∵a＞1＞b＞0，∴y=a^x在R上为增函数，y=b^x在R上为减函数，
∴a^x₁-a^x₂＜0，b^x₂-b^x₁＜0，∴（a^x₁-b^x₁）-（a^x₂-b^x₂）＜0，即（a^x₁-b^x₁）＜（a^x₂-b^x₂）
又∵y=lgx在（0，+∞）上为增函数，∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，
一方面，当a＞b+1时，由f（x）＞0可推得，f（x）的最小值大于0，
而当x∈（1，+∞），f（x）＞0，故只需x∈（1，+∞）；
另一方面，当a＞b+1时，由f（x）在[0，+∞）上为增函数，
可知当x∈[1，+∞）时，有f（x）＞f（1）＞0，即f（x）取正值，
故当a＞b+1时，f（x）取正值的充要条件是x∈（1，+∞），
故选：A．

点评 本题考查充要条件的判断，涉及函数定义域和单调性，属中档题．