Question

9．在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路方向垂直，且∠ABC=120°，路灯C射出的光线如图中虚线所示，已知∠ACD=60°，路宽AD=18m．设灯柱高AB=h（m），∠ACB=θ（30°≤θ≤45°）．

（1）求灯柱的高h（用θ表示）；
（2）若灯柱AB与灯杆BC单位长度的造价相同，问当θ为多少时，灯柱AB与灯杆BC的总造价最低．

Answer 1

分析 （1）由条件求得∠BAC=60°-θ，∠CAD=30°+θ，∠ADC=90°-θ．△ACD中，利用正弦定理求得AC的值，在△ABC中，由正弦定理求得h的值．
（2）在△ABC中，由正弦定理求得BC的值，再根据 S=AB+BC=6$\sqrt{3}$+12sin（2θ+60°），根据30°≤θ≤45°，利用正弦函数的定义域和值域求得S的最小值．

解答 解：（1）如图所示：由于∠ABC=120°，∠ACB=θ，∴∠BAC=60°-θ．
∵∠BAD=90°，∴∠CAD=90°-（60°-θ）=30°+θ．
∵∠ACD=60°，∴∠ADC=90°-θ．
△ACD中，由于AD=18，由正弦定理可得$\frac{AC}{sin（90°-θ）}=\frac{18}{sin60°}$，
解得AC=12$\sqrt{3}$cosθ．
在△ABC中，由正弦定理可得$\frac{h}{sinθ}=\frac{12\sqrt{3}cosθ}{sin120°}$，解得h=12sin2θ．
（2）在△ABC中，由正弦定理可得$\frac{BC}{sin（60°-θ）}=\frac{12\sqrt{3}cosθ}{sin120°}$，
求得BC=24cosθsin（60°-θ）=6$\sqrt{3}$+6$\sqrt{3}$cos2θ-6sin2θ．
∴S=AB+BC=6$\sqrt{3}$+6$\sqrt{3}$cos2θ+6sin2θ=6$\sqrt{3}$+12sin（2θ+60°）．
∵30°≤θ≤45°，∴120°≤2θ+60°≤150°，
∴当2θ+60°=150°，即θ=45°时，S取得最小值为（6$\sqrt{3}$+6）米．

点评 本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．