Question

2．已知函数f（x）=ax²+2bx+c（x∈R，a≠0）．
（1）若a=-1，c=0，且y=f（x）在[-2，4]上的最大值为g（b），求g（b）；
（2）若a＞0，函数f（x）在[-10，-2]上不单调，且f（x）的值域为[0，+∞），求$\frac{f（1）}{b-2a}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a=-1，c=0时的f（x）解析式，配方求出对称轴，讨论区间[-2，4]与对称轴的关系，运用单调性即可得到最大值g（b）；
（Ⅱ）由图象与x轴相切，可得判别式为0，由f（x）在[-10，-2]上不单调，可得对称轴介于-8和-2之间，再对所求式子整理变形，令t=$\frac{b}{a}$∈[2，10]，结合基本不等式，即可得到最小值12．

解答 解：（Ⅰ）a=-1，c=0时，f（x）=-x²+2bx=-（x-b）²+b²，
∴对称轴是直线x=b，
①b＜-2时，[-2，4]为减区间，即有f（x）_max=f（-2）=-4-4b；
②当-2≤b≤4时，即有f（x）max=f（b）=b²；
③当b＞4时，[-2，4]为增区间，即有f（x）_max=f（4）=-16+8b．
综上所述，g（b）=$\left\{\begin{array}{l}{-4-4b，（b＜-2）}\\{{b}^{2}，（-2≤b≤4）}\\{-16+8b，（b＞3）}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）∵f（x）的值域为[0，+∞），
∴△=0即为4b²-4ac=0即为 $\frac{c}{a}$=（$\frac{b}{a}$）²，
∵f（x）在[-10，-2]上不单调，
∴对称轴x=-$\frac{b}{a}$∈（-10，-2），
∴$\frac{b}{a}$∈（2，10），
即有 $\frac{f（1）}{b-2a}$=$\frac{a+2b+c}{b-2a}$=$\frac{1+\frac{2b}{a}{+（\frac{b}{a}）}^{2}}{\frac{b}{a}-2}$，
设$\frac{b}{a}$=t∈（2，10）⇒t-2∈（0，8），
即有 $\frac{f（1）}{b-2a}$=$\frac{1+2t{+t}^{2}}{t-2}$=（t-2）+$\frac{9}{t-2}$+6
≥2$\sqrt{（t-2）•（\frac{9}{t-2}）}$+6=12．
∴$\frac{f（1）}{b-2a}$的最小值为12，此时当且仅当t-2=3∈（0，8）⇒t=5．

点评 本题考查二次函数的最值求法，主要考查函数的单调性的运用，注意分类讨论的思想方法的运用和基本不等式的运用，同时考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题．