Question

5．已知倾斜角为60°的直线l过点（0，-2$\sqrt{3}$）和椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；  
（Ⅱ）若已知点D（3，0），点M，N是椭圆C上不重合的两点，且$\overrightarrow{DM}$=λ$\overrightarrow{DN}$，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直线的斜率公式，求得直线l的方程，可得椭圆的焦点，再由离心率公式，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（II）设直线MN的方程为x=ay+3，代入椭圆方程，运用判别式大于0，韦达定理，由向量的共线的坐标表示，得到λ的不等式，解得即可得到所求范围．

解答 解：（I）∵直线l的倾斜角为60°
∴直线l的斜率为k=tan60°=$\sqrt{3}$，
又∵直线l过点（0，-2$\sqrt{3}$），
∴直线l的方程为y=$\sqrt{3}x$-2$\sqrt{3}$，
∵a＞b，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点，
∴椭圆的焦点为（2，0），
∴c=2，又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
∴a=$\sqrt{6}$，∴b²=a²-c²=2，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（II）设直线MN的方程为x=ay+3，
代入椭圆方程可得，（m²+3）y²+6my+3=0，
设M，N坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则y₁+y₂=-$\frac{6m}{3+{m}^{2}}$ ①y₁y₂=$\frac{3}{3+{m}^{2}}$ ②，
△=36m²-12（m²+3）=24m²-36＞0，
∴m²＞$\frac{3}{2}$，
∵$\overrightarrow{DM}$=（x₁-3，y₁），$\overrightarrow{DN}$=（x₂-3，y₂），$\overrightarrow{DM}$=$λ\overrightarrow{DN}$，
显然λ＞0，且λ≠1，
∴（x₁-3，y₁）=λ（x₂-3，y₂），
∴y₁=λy₂，
代入①②，得
λ+$\frac{1}{λ}$=$\frac{12{m}^{2}}{{m}^{2}+3}$-2=10-$\frac{36}{{m}^{2}+3}$，
∵m²＞$\frac{3}{2}$，
得2＜λ+$\frac{1}{λ}$＜10，
即$\left\{\begin{array}{l}{{λ}^{2}-2λ+1＞0}\\{{λ}^{2}-10λ+1＜0}\end{array}\right.$，
解得5-2$\sqrt{6}$＜λ＜5+2$\sqrt{6}$且λ≠1．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查直线的斜率和方程的运用，考查向量共线的坐标表示，属于中档题．